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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
h) $f(x)=2 x^{4}-4 x^{2}$

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de $f(x)$

El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$

2) Derivamos $f(x)$

\( f'(x) = 8x^3 - 8x \)

3) Igualamos \( f'(x) \) a cero

$8x^3 - 8x = 0$ 

Sacamos factor común $8x$

\( 8x(x^2 - 1) = 0 \)

Con los mismos razonamientos que venimos usando en las clases y en los problemas que vimos hasta ahora, llegás a que los puntos críticos son \( x = 0 \), \( x = 1 \), y \( x = -1 \)

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

- \( (-\infty, -1) \) - \( (-1, 0) \) - \( (0, 1) \) - \( (1, +\infty) \)

5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \) 

En \( (-\infty, -1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente

En \( (-1, 0) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente

En \( (0, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente

En \( (1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente

Recapitulando entonces,

Intervalo de crecimiento: $ (-1, 0)  \cup (1, +\infty)$

Intervalo de decrecimiento: $ (-\infty, -1) \cup (0, 1)$
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